(資料圖片僅供參考)

1、若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且 b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a) 這即為牛頓-萊布尼茨公式。

2、 牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。

3、下面就是該公式的證明全過程: 我們知道，對函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達為: b(上限)∫a(下限)f(x)dx 現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個變量，這樣我們就定義了一個新的函數(shù): Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx 但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的。

4、為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了: Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt 接下來我們就來研究這個函數(shù)Φ(x)的性質(zhì): 定義函數(shù)Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ’(x)=f(x)。

5、 證明:讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數(shù)增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt 顯然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得， 也可自己畫個圖，幾何意義是非常清楚的。

6、) 當Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時，ξ趨向于x，f(ξ)趨向于f(x)，故有l(wèi)im Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可見這也是導數(shù)的定義,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

7、 2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)。

8、 證明:我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x) 但Φ(a)=0(積分區(qū)間變?yōu)閇a,a]，故面積為0)，所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，當x=b時，Φ(b)=F(b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a) 把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。

本文就為大家分享到這里，希望小伙伴們會喜歡。

標簽：